Algebraic number theory

 


Every element in O admits a factorization into irreducible elements, but it may admit more than one. Consider, for example, the prime numbers. Acuvue Oasys 1 Day for Astigmatism.

Navigation menu


Als je astigmatisme hebt, is de vorm van je oog ovaal in plaats van rond. Dit betekent dat de reguliere lenzen mogelijk niet goed passen en oncomfortabel aanvoelen omdat ze over je oog bewegen terwijl je ze draagt. Hierdoor kan je zicht vertroebelen. Torische lenzen zijn zo ontworpen dat ze goed op je oog passen, comfortabel aanvoelen en perfect zicht bieden.

Vaak worden torische contactlenzen verward met multifocale lenzen. Wij verkopen ook multifocale lenzen, om het zicht voor veraf en dichtbij te verbeteren. Torische contactlenzen corrigeren astigmatisme, een vrij veel voorkomend zichtprobleem uit dezelfde categorie als bijziendheid of verziendheid. Mensen met astigmatisme hebben vaak last van wazig zicht.

Het hoornvlies moet het licht dat je oog binnenkomt buigen zodat het zich kan richten op het netvlies aan de binnenkant van je oog. Hierdoor worden scherpe beelden doorgegeven aan je hersenen. Als je astigmatisme hebt, lijkt je hoornvlies meer op een rugbybal dan een voetbal.

Het licht richt zich dan niet op een plek, maar verspreidt zich over de binnenkant van je oog, wat wazig zicht veroorzaakt. Daarnaast kan de vorm van je ooglens veranderen. Omdat je ooglens het licht ook helpt om zich goed te kunnen focussen, heeft dit hetzelfde effect als wanneer je hoornvlies wordt uitgerekt. Deze aandoening is iets zeldzamer en staat bekend als lenticulair astigmatisme.

Er zijn 3 verschillende soorten astigmatisme. Deze worden door opticiens vastgesteld op basis van meridianen. Als je even denkt aan een klok, dan is een meridiaan een lijn die de 12 verbindt met de 6 of de 4 met een Deze meridianen worden gebruikt om de verschillende gebieden van het oog te onderscheiden. Dit kan zorgen voor bijziendheid myopisch astigmatisme , verziendheid hypermetropisch astigmatisme of een combinatie hiervan gemengd astimgatisme. Deze meest voorkomende vorm van astigmatisme kan eenvoudig gecorrigeerd worden met behulp van torische lenzen.

Onregelmatig astigmatisme is iets zeldzamer en wordt vaak veroorzaakt door een verwonding aan het oog. De oppervlakte van het hoornvlies is bij onregelmatig astigmatisme niet mooi glad, maar zit vol hobbels. Hierdoor wordt het licht alle kanten op gebogen. Een bril kan deze aandoening vaak niet corrigeren, dus torische contactlenzen zijn in dat geval een betere optie. Een lichte vorm van astigmatisme hoeft niet altijd gecorrigeerd te worden, maar kan wel de oorzaak zijn van hoofdpijn, vermoeidheid of pijnlijke ogen.

Dit is met name het geval bij het uitvoeren van taken waarbij je ogen zich voor langere tijd op iets moeten focussen, zoals lezen, autorijden of computeren. Als dit je bekend voorkomt, breng dan eens een bezoekje aan je opticien. Als je contactlenzen nodig hebt die astigmatisme corrigeren, kies dan voor torische lenzen. Reguliere, sferische lenzen passen in dat geval waarschijnlijk niet goed op je oog en je zult merken dat de lenzen bewegen bij het dragen.

Dit is erg oncomfortabel en kan instabiel of wazig zicht veroorzaken. Torische lenzen passen goed op je oogbol waardoor je de hele dag door stabiel en scherp zicht hebt. Waar je het oppervlak van een sferische lens kunt vergelijken met een een stukje uit een glazen bal, lijkt het oppervlak van een torische lens het meest op een stukje uit een oliebol.

Een torische lens heeft dus een hobbelig oppervlak waardoor het licht op een goede manier wordt gebogen in je oog. Een ander kenmerk van torische lenzen is dat ze verschillende sterktes hebben voor de verschillende meridianen in je oog.

Torische lenzen blijven goed op hun plaats zitten en corrigeren het relevante gedeelte van het oog. Sommige torische lenzen zijn iets verzwaard aan de onderkant waardoor ze niet over het oog kunnen gaan schuiven om zo wazig zicht te veroorzaken. Wat het verschil is tussen torische lenzen en lenzen met een cilinder? Daar kunnen we heel kort over zijn: Torische lenzen zijn namelijk contactlenzen met een cilinder.

Door het grote aanbod kan het bestellen van torische lenzen verwarrend zijn. Als dit het geval is weet je zeker dat je het juiste type lenzen bestelt. Houd er rekening mee dat astigmatisme een aandoening is die verschilt van persoon tot persoon. Niet iedere torische lens is geschikt om jouw zicht te corrigeren. Het is daarom raadzaam om lenzen te gebruiken van het merk of de fabrikant die je is aangeraden door je opticien.

Wanneer je lenzen gebruikt van het huismerk van je opticien en deze lenzen niet online kunt vinden, hoef je je geen zorgen te maken. Lenzen van opticiens als Pearle en Specsavers zijn gelijkwaardig aan lenzen van andere merken. Alleen de verpakking is anders. Bekijk deze tabel om te zien welke lenzen gelijkwaardig zijn aan de lenzen van Pearle en deze tabel om te ontdekken welke lenzen gewijkwaardig zijn aan de lenzen van Specsavers.

Bij het bestellen van torische lenzen moet je de juiste sterkte en soms ook de diameter en basiscurve invullen, net als bij het bestellen van sferische lenzen. Daarnaast moet je ook twee kenmerken invoeren die uniek zijn voor torische lenzen: De cilinder drukt uit hoe sterk de cilinderafwijking is en de as geeft aan vanuit welke hoek de correctie nodig is om voor scherp zicht te zorgen.

An ideal which is prime in the ring of integers in one number field may fail to be prime when extended to a larger number field. Consider, for example, the prime numbers. The corresponding ideals p Z are prime ideals of the ring Z. However, when this ideal is extended to the Gaussian integers to get p Z [ i ] , it may or may not be prime. A complete answer to the question of which ideals remain prime in the Gaussian integers is provided by Fermat's theorem on sums of two squares.

Generalizing this simple result to more general rings of integers is a basic problem in algebraic number theory. Class field theory accomplishes this goal when K is an abelian extension of Q i. Unique factorization fails if and only if there are prime ideals that fail to be principal. The object which measures the failure of prime ideals to be principal is called the ideal class group. Defining the ideal class group requires enlarging the set of ideals in a ring of algebraic integers so that they admit a group structure.

This is done by generalizing ideals to fractional ideals. All ideals of O are also fractional ideals. If I and J are fractional ideals, then the set IJ of all products of an element in I and an element in J is also a fractional ideal. This operation makes the set of non-zero fractional ideals into a group.

The quotient of the group of non-zero fractional ideals by this subgroup is the ideal class group. Therefore, the ideal class group makes two fractional ideals equivalent if one is as close to being principal as the other is.

The ideal class group is generally denoted Cl K , Cl O , or Pic O with the last notation identifying it with the Picard group in algebraic geometry. The number of elements in the class group is called the class number of K. The ideal class group has another description in terms of divisors. These are formal objects which represent possible factorizations of numbers.

The divisor group Div K is defined to be the free abelian group generated by the prime ideals of O. The kernel of div is the group of units in O , while the cokernel is the ideal class group. In the language of homological algebra , this says that there is an exact sequence of abelian groups written multiplicatively ,. These are called real embeddings and complex embeddings , respectively.

Conventionally, the number of real embeddings of K is denoted r 1 , while the number of conjugate pairs of complex embeddings is denoted r 2. The signature of K is the pair r 1 , r 2. This is called the Minkowski embedding. The subspace of the codomain fixed by complex conjugation is a real vector space of dimension d called Minkowski space.

The image of O under the Minkowski embedding is a d -dimensional lattice. Real and complex embeddings can be put on the same footing as prime ideals by adopting a perspective based on valuations. Consider, for example, the integers. Ostrowski's theorem states that these are all possible absolute value functions on Q up to equivalence. Therefore, absolute values are a common language to describe both the real embedding of Q and the prime numbers.

A place of an algebraic number field is an equivalence class of absolute value functions on K. There are two types of places. These are called finite places.

The other type of place is specified using a real or complex embedding of K and the standard absolute value function on R or C.

These are infinite places. Because absolute values are unable to distinguish between a complex embedding and its conjugate, a complex embedding and its conjugate determine the same place. Therefore, there are r 1 real places and r 2 complex places. Because places encompass the primes, places are sometimes referred to as primes. When this is done, finite places are called finite primes and infinite places are called infinite primes.

Considering all the places of the field together produces the adele ring of the number field. The adele ring allows one to simultaneously track all the data available using absolute values. This produces significant advantages in situations where the behavior at one place can affect the behavior at other places, as in the Artin reciprocity law. Other rings of integers may admit more units. The integers in real quadratic number fields have infinitely many units.

The fundamental theorem of finitely generated abelian groups therefore implies that it is a direct sum of a torsion part and a free part. Reinterpreting this in the context of a number field, the torsion part consists of the roots of unity that lie in O. This group is cyclic. The free part is described by Dirichlet's unit theorem. Thus, for example, the only fields for which the rank of the free part is zero are Q and the imaginary quadratic fields. The free part of the unit group can be studied using the infinite places of K.

The covolume of this lattice is the regulator of the number field. One of the simplifications made possible by working with the adele ring is that there is a single object, the idele class group , that describes both the quotient by this lattice and the ideal class group. The Dedekind zeta function of a number field, analogous to the Riemann zeta function is an analytic object which describes the behavior of prime ideals in K.

When K is an abelian extension of Q , Dedekind zeta functions are products of Dirichlet L-functions , with there being one factor for each Dirichlet character. The trivial character corresponds to the Riemann zeta function. When K is a Galois extension , the Dedekind zeta function is the Artin L-function of the regular representation of the Galois group of K , and it has a factorization in terms of irreducible Artin representations of the Galois group.

The zeta function is related to the other invariants described above by the class number formula. Completing a number field K at a place w gives a complete field. This process simplifies the arithmetic of the field and allows the local study of problems. For example, the Kronecker—Weber theorem can be deduced easily from the analogous local statement.

The philosophy behind the study of local fields is largely motivated by geometric methods. In algebraic geometry, it is common to study varieties locally at a point by localizing to a maximal ideal.

Global information can then be recovered by gluing together local data. This spirit is adopted in algebraic number theory. Given a prime in the ring of algebraic integers in a number field, it is desirable to study the field locally at that prime. Therefore, one localizes the ring of algebraic integers to that prime and then completes the fraction field much in the spirit of geometry. One of the classical results in algebraic number theory is that the ideal class group of an algebraic number field K is finite.

The order of the class group is called the class number , and is often denoted by the letter h. In terms of the Legendre symbol , the law of quadratic reciprocity for positive odd primes states. A reciprocity law is a generalization of the law of quadratic reciprocity.

There are several different ways to express reciprocity laws. Artin 's reformulated reciprocity law states that the Artin symbol from ideals or ideles to elements of a Galois group is trivial on a certain subgroup. Several more recent generalizations express reciprocity laws using cohomology of groups or representations of adelic groups or algebraic K-groups, and their relationship with the original quadratic reciprocity law can be hard to see.

The class number formula relates many important invariants of a number field to a special value of its Dedekind zeta function. Algebraic number theory interacts with many other mathematical disciplines.

It uses tools from homological algebra. Via the analogy of function fields vs. Moreover, the study of higher-dimensional schemes over Z instead of number rings is referred to as arithmetic geometry. Algebraic number theory is also used in the study of arithmetic hyperbolic 3-manifolds. From Wikipedia, the free encyclopedia. The New York Times. Retrieved 21 January Algebraic number theory Analytic number theory Geometric number theory Computational number theory Transcendental number theory Combinatorial number theory Arithmetic geometry Arithmetic topology Arithmetic dynamics.